如何衡量一个算法的好坏？

目录

一、前言

二、时间复杂度

三、空间复杂度

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一、前言

算法是解决一类问题准确而完整的描述，它是程序设计的灵魂。如何衡量一个算法的好坏呢？是不是实现的代码越简洁算法越好呢？

算法在编写成可执行程序运行时，需要耗费时间资源和空间资源，因此衡量一个算法的好坏，是从时间和空间两个维度上衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度衡量一个算法运行的快慢；空间复杂度衡量一个算法运行所需要的额外空间。

二、时间复杂度

时间复杂度是一个函数，它定量描述了一个算法的运行时间。这个函数计算的是算法基本操作次数，并不是算法运行时间，因为在不同编译器下同一个算法有不同表现形式，而且我们不可能把所有算法都在编译器下实现。如下：

//计算Fun1的时间复杂度
void Fun1(int n)
{for (int i; i < n; i++){for (int j; j < n; j++){printf("Hi\n");}}int m = 100;while (m--){printf("Hello\n");}
}

根据时间复杂度的定义，我们很容易得出：Fun1的时间复杂度是n^2+100。然而在实际中，我们其实不必计算算法准确的执行次数，只要知道大概就行了，这里我们采用大O的渐进表示法。

大O的渐进表示法应用于时间复杂度和空间复杂度的计算，规则如下：

1. 函数中的常数用1代替；
2. 最终结果只保留函数的最高阶；
3. 如果最高阶的系数不是1，系数就改成1。

使用大O的渐进表示法，Fun1的时间复杂度就是O(n^2)。

再看几个例子：

//计算二分查找算法的时间复杂度
int BinarySearch(int* arr, int len, int key)
{assert(arr);int left = 0;int right = len - 1;while (left <= right){int mid = (left + right) / 2;if (key < arr[mid]){right = mid - 1;}else if (key > arr[mid]){left = mid + 1;}else{return mid;}}return -1;
}

计算复杂度时，我们先不要着急看代码，先想一想算法实现的思路。

二分查找算法的最坏情况是找到最后只剩一个数时才找到，假设数组有N个数，第一次是在N个数中查找，第二次就是在N/2个数中查找，第三次就是在(N/2)/2中查找…以此类推，当最后只剩1个数时查找才会结束。设找了x次，则有N/(2^x)=1，即2^x=N, x=logN。二分查找算法的时间复杂度是O(logN)。

想想暴力查找时，最坏结果是遍历一遍数组才能找到，此时时间复杂度就是O(N)，相比之下二分查找的O(logN) 更有优势。然鹅，二分查找有一个致命缺陷：必须在有序数组中进行。所以使用二分查找还得排序，而排序的最优时间复杂度是O(N*logN)，综合之下，二分查找算法也不算多强了。

注：为了方便书写，在计算复杂度时，logN的底数为2时，底数2会被省略。

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度
long long Fac(size_t N)
{if(0 == N)return 1;return Fac(N-1)*N;
}

在计算递归的时间复杂度时，只需要把每次递归调用的时间次数累加。Fac的时间复杂度是O(N).

三、空间复杂度

和时间复杂度类似，空间复杂度也是一个能定量描述算法运行额外空间的函数。

额外空间是指程序运行时显示申请的额外空间，函数运行时所需的栈空间在编译时就已经确定了。

举个栗子，计算上面阶乘递归函数Fac的空间复杂度。先说结果，Fac的空间复杂度是O(N)。因为每一次递归调用时，都要为递归调用的函数开辟一个新的空间，共有N次调用，故空间复杂度是O(N)。

递归调用的空间复杂度是将每次递归调用的变量个数累加，所以说，代码简洁算法效率不一定高，要谨慎使用递归，搞不好就有可能爆栈！

// 计算BubbleSort的空间复杂度
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

乍一看，冒泡排序的循环里调用了Swap函数，那冒泡排序的空间复杂度应该是O(N^2)，但联系到前面所说的“函数运行时所需的栈空间在编译时就已经确定了”，调用Swap函数的开销在函数运行前就确定了，我们不难得出冒泡排序的空间复杂度只是O(N).

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总结

1. 计算复杂度时我们不需要精确的运行次数或者准确的额外运行空间，只要一个对整体复杂度计算影响最大的数。
2. 随着计算机的发展，它的存储空间越来越大，如今我们已不再需要贴别关注空间复杂度。