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矩阵 的逆、 迹、 秩

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矩阵 的逆、 迹、 秩

矩阵的逆:

矩阵的逆有是三种方法可以求

1、系数待定法: 

2、求伴随矩阵求逆

 

 3、通过求增广矩阵求出逆 

矩阵的迹

什么是矩阵的迹

矩阵的迹是特征值的加和,也即矩阵A的主对角线元素的总和。

案例

矩阵的秩

什么是矩阵的秩

设 AA 为 m\times nm×n 矩阵。若 AA 至少有一个 rr 阶非零子式,而其所有 {\displaystyle r+1}r+1阶子式全为零,则称 rr 为AA 的秩

在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性无关的纵列的极大数。类似的,行秩是A的线性无关的橫行的极大数目。

直观理解矩阵的秩:

  • 秩是图像经过矩阵变换后的空间维度
  • 列空间的维度

矩阵秩的性质:

A是在域F上的m × n矩阵并描述了上述线性映射。

  • 只有零矩阵有秩0
  • A的秩最大为min(m,n)
  • f是单射,当且仅当A有秩n(在这种情况下,我们称A有“列满秩”)。
  • f是满射,当且仅当A有秩m(在这种情况下,我们称A有“行满秩”)。
  • 在方块矩阵A (就是m = n)的情况下,则A是可逆的,当且仅当A有秩n(也就是A有满秩)。线

线性关系:

将m个n维列向量排列成n×m的矩阵A,这个对应矩阵的秩即为原向量组的秩

原向量组线性相关的充分必要条件为:r(A)<m
如果r(A) = m 则向量组线性无关。

r(A)≤n<m
这个向量组必然线性相关。

计算矩阵的秩:

 那么通过高斯消元法:

 r(A)=2

矩阵 的逆、 迹、 秩

矩阵的逆:

矩阵的逆有是三种方法可以求

1、系数待定法: 

2、求伴随矩阵求逆

 

 3、通过求增广矩阵求出逆 

矩阵的迹

什么是矩阵的迹

矩阵的迹是特征值的加和,也即矩阵A的主对角线元素的总和。

案例

矩阵的秩

什么是矩阵的秩

设 AA 为 m\times nm×n 矩阵。若 AA 至少有一个 rr 阶非零子式,而其所有 {\displaystyle r+1}r+1阶子式全为零,则称 rr 为AA 的秩

在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性无关的纵列的极大数。类似的,行秩是A的线性无关的橫行的极大数目。

直观理解矩阵的秩:

  • 秩是图像经过矩阵变换后的空间维度
  • 列空间的维度

矩阵秩的性质:

A是在域F上的m × n矩阵并描述了上述线性映射。

  • 只有零矩阵有秩0
  • A的秩最大为min(m,n)
  • f是单射,当且仅当A有秩n(在这种情况下,我们称A有“列满秩”)。
  • f是满射,当且仅当A有秩m(在这种情况下,我们称A有“行满秩”)。
  • 在方块矩阵A (就是m = n)的情况下,则A是可逆的,当且仅当A有秩n(也就是A有满秩)。线

线性关系:

将m个n维列向量排列成n×m的矩阵A,这个对应矩阵的秩即为原向量组的秩

原向量组线性相关的充分必要条件为:r(A)<m
如果r(A) = m 则向量组线性无关。

r(A)≤n<m
这个向量组必然线性相关。

计算矩阵的秩:

 那么通过高斯消元法:

 r(A)=2

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