【矩阵论】4. 矩阵运算——广义逆——加号逆应用

时间: 2023-07-11 admin IT培训

【矩阵论】4. 矩阵运算——广义逆——加号逆应用

【矩阵论】4. 矩阵运算——广义逆——加号逆应用

矩阵论
1. 准备知识——复数域上矩阵,Hermite变换)
1.准备知识——复数域上的内积域正交阵
1.准备知识——Hermite阵,二次型,矩阵合同,正定阵,幂0阵,幂等阵,矩阵的秩
2. 矩阵分解——SVD准备知识——奇异值
2. 矩阵分解——SVD
2. 矩阵分解——QR分解
2. 矩阵分解——正定阵分解
2. 矩阵分解——单阵谱分解
2. 矩阵分解——正规分解——正规阵
2. 矩阵分解——正规谱分解
2. 矩阵分解——高低分解
3. 矩阵函数——常见解析函数
3. 矩阵函数——谱公式,幂0与泰勒计算矩阵函数
3. 矩阵函数——矩阵函数求导
4. 矩阵运算——观察法求矩阵特征值特征向量
4. 矩阵运算——张量积
4. 矩阵运算——矩阵拉直
4.矩阵运算——广义逆——加号逆定义性质与特殊矩阵的加号逆
4. 矩阵运算——广义逆——加号逆的计算
4. 矩阵运算——广义逆——加号逆应用
4. 矩阵运算——广义逆——减号逆
5. 线性空间与线性变换——线性空间
5. 线性空间与线性变换——生成子空间
5. 线性空间与线性变换——线性映射与自然基分解,线性变换
6. 正规方程与矩阵方程求解
7. 范数理论——基本概念——向量范数与矩阵范数
7.范数理论——基本概念——矩阵范数生成向量范数&谱范不等式
7. 矩阵理论——算子范数
7.范数理论——范数估计——许尔估计&谱估计
7. 范数理论——非负/正矩阵
8. 常用矩阵总结——秩1矩阵,优阵(单位正交阵),Hermite阵
8. 常用矩阵总结——镜面阵,正定阵
8. 常用矩阵总结——单阵,正规阵,幂0阵,幂等阵,循环阵


4.4.3 矩阵方程求解

前置:正规方程

a. 有解情况

若矩阵方程 A X B = D AXB=D AXB=D 有解相容,则有特解 X 0 = A + D B + X_0=A^+DB^+ X0​=A+DB+

  • 无解定理:若 X 0 = A + D B + X_0=A^+DB^+ X0​=A+DB+ ,使 A X 0 B ≠ D AX_0B\neq D AX0​B=D ,则矩阵方程无解

  • 齐次方程 A X B = 0 AXB=0 AXB=0 的通解公式为: X = Y − A + A Y B B + X=Y-A^+AYBB^+ X=Y−A+AYBB+ Y为任一矩阵

  • 矩阵方程 A X B = D AXB=D AXB=D 的通解公式为: X = X 0 + ( Y − A + A Y B B + ) = A + D B + + ( Y − A + A Y B B + ) X=X_0+(Y-A^+AYBB^+) = A^+DB^++(Y-A^+AYBB^+) X=X0​+(Y−A+AYBB+)=A+DB++(Y−A+AYBB+)

A X A = A AXA=A AXA=A必有解,特解为 X 0 = A + A A + = A + X_0=A^+AA^+=A^+ X0​=A+AA+=A+,通解为 X = X 0 + ( Y − A + A Y A A + ) X=X_0+(Y-A^+AYAA^+) X=X0​+(Y−A+AYAA+)

A有特解 A 0 = A + = ( 1 , 0 , 0 ) 1 × 3 A_0=A^+=\left(1,0,0\right)_{1\times 3} A0​=A+=(1,0,0)1×3​ ,通解公式为 X = A + + ( Y − A + A Y A A + ) X=A^++(Y-A^+AYAA^+) X=A++(Y−A+AYAA+) Y与 A + A^+ A+ 同型即 Y = Y 1 × 3 Y=Y_{1\times 3} Y=Y1×3​

令 Y = ( a , b , c ) Y=(a,b,c) Y=(a,b,c) ,a,b,c为任意复数
X = A + + ( a , b , c ) − A + A ( a , b , c ) A A + = ( 1 , 0 , 0 ) + ( a , b , c ) − ( a , 0 , 0 ) = ( 1 , b , c ) \begin{aligned} &X=A^++\left(a,b,c\right)-A^+A\left(a,b,c\right)AA^+\\ &=\left(1,0,0\right)+\left(a,b,c\right)-\left(a,0,0\right)=\left(1,b,c\right) \end{aligned} ​X=A++(a,b,c)−A+A(a,b,c)AA+=(1,0,0)+(a,b,c)−(a,0,0)=(1,b,c)​


解得: X = ( 1 , b , c ) T = ( 1 b c ) X=(1,b,c)^T=\left(\begin{matrix}1\\b\\c\end{matrix}\right) X=(1,b,c)T= ​1bc​ ​ 即若 A X A = A AXA=A AXA=A 有解,则 A T X T A T = A T A^TX^TA^T=A^T ATXTAT=AT 有解


b. 无解情况

若矩阵方程 A X B = D AXB=D AXB=D 无解,矩阵 X = ( x i j ) p × q X=(x_{ij})_{p\times q} X=(xij​)p×q​ 的欧式范数或模长记为 ∥ X ∥ = ∥ X ∥ F = ∑ ∣ x i j ∣ 2 = t r ( X H X ) \Vert X\Vert=\Vert X\Vert_F=\sqrt{\sum\vert x_{ij}\vert^2}=\sqrt{tr(X^HX)} ∥X∥=∥X∥F​=∑∣xij​∣2 ​=tr(XHX)